Теорема Питагораса

Теорема Питагораса је тврдженје из еуклидовој геометрии о простых трикутниках, говорјуче, же во каждом трикутнику, кторы имаје просты кут (90°), квадрат, створјены из бока напротив простого кута, имаје поље равне сумє пољев квадратов двох осталых боков.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Доказ

Во 1 книгє Еуклидеса ’’Елементы’’ во пропозицији 47 читајемо:

’’Во простокутных трикутниках квадрат бока напротив простого кута је равны сумє квадратов боков, творјучих просты кут.’’

Нехај трикутник о врхах ABC буде простокутным трикутником, кде кут BAC је просты.

△ABC -> ∠BAC = 90°

Квадрат боку BC је равны сумє квадратов BA и AC.

На боку BC нарысовати квадрат BDEC, на боку AB нарысовати квадрат ABFG а на боку AC нарысовати квадрат ACKH.

Рысујемо просту линију AL паралелној до BD або CE, а потом наступне линију AD о концу в D и CF о концу в F.

Јестли куты БАЦ и БАГ сут просте, тогда бок ЦА је на простој линији разом с АГ, бо двє просте линије АЦ и АГ не лежут на тој самој боку и творјут прилегле куты равне двом простым кутом.

∠BAC = 90°

∠BAG = 90°

Из точно того повода БА тож је на простој линији с АХ.

Јесли кут ДБЦ је равны кутови ФБА (бо оне два сут просте куты), додај кут АБЦ до каждого из њих и тогда цєлы кут ДБА буде равны цєлому кутови ФБЦ.

∠DBC=∠FBA /+∠ABC

∠DBA=∠FBC

Јестли ДБ јест равне БЦ и ФБ је равне БА, тогда АБ је равне ФБ и БД је равне БЦ.

DB=BC

FB=BA

Кут АБД је равны кутови ФБЦ, дакле основа АД је равна основє ФЦ и трикутник АБД је равны трикутникови ФБЦ.

△ABD≅△FBC БББ (бок-бок-бок)

Тутчасно паралелограм/равнобежник АБДЛ је двакратност трикутника АБД, бо оне два имајут једнакој основу БД и сут меджу паралелными/равнобєжными простыми БД и АЛ. Квадрат ГБ је двакратност трикутника ФБЦ, бо оне имајут тој самој основу ФБ и сут меджу паралелными/равнобєжными линиами ФБ и ГЦ.

То значи, же паралелограм/равнобєжник АБДЛ је равны квадратови АБФГ.

Подобно, јестли АЕ и БК сут сједињене, можно доказати, что паралелограм/равнобєжник АЦЕЛ је равны квадратови АЦКХ.

Квадрат БДЕЦ је описаны на БЦ, квадрат АБФГ је описаны на АБ а квадрат АЦКХ је описаны на АЦ.

Дакле цєлы квадрат БДЕЦ је равны сумє квадратов АБФГ и АЦКХ.

Дакле во трикутниках о простык кутах, квадрат бока напротив простого кута је равны сумє квадратов боков, кторе творјут просты кут.

BC2=AB2+AC2

Тврдженје косинусов

Тврдженје косинусов је разширєнје тврдженја Питагораса, кторе тиче се всих трикутников.

Нехај закладајмо, что:

a, b, c – сут долгости боков трикутника ABC

α, β, γ – сут куты лежуче напротив боков a, b, c

Теза:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Нехај разважимо три случаје кута:

Кут α је остры (0°-90°)

Јестли једин из кутов је остры, то значи, же јествује други остры кут.

Нехај пункт Д буде сподом (пунктом) вышины водженој из врха.

Во трикутнику АДЦ:

$|CD|=b\cdot \sin \alpha$

$|AD|=b\cdot \cos \alpha$ , дакле $|DB|=c-b\cdot \cos \alpha$

Из трдженја Питагораса во трикутнику БЦД: $|CB|^{2}=|DB|^{2}+|CD|^{2}$

Тако же: $a^{2}=(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}+(b\cdot \sin \alpha )^{2}=c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Кут α је просты (90°)

Јестли јествује кут просты α = 90° тогда cosα = 0, дакле мы отримујемо обычне тврдженје Питагораса: $a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$