Izvod

Izvodom funkcije $f\left(x\right)$ v matematikě nazyvaje se granica $$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$$.
$h$ jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.

Osnovne vědomosti

Izvod funkcije $f\left(x\right)$ obyčno se označaje kako $f'\left(x\right)$. To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj $x$ jest označena literoju $y$, to jej izvod može se označati jako $y'$ abo jako ${\frac {dy}{dx}}$. Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.

Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:

• ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
• ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
• ako v točkě $a$ izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě $b$, togda v okolině točky $a$ funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky $b$.

Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.

Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.

Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.

Izvod postojannoj funkcije

Ako imajemo postojannu funkciju $y=b$, to jej izvod jest:
$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {b-b}{h}}=0$.

To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.

Izvod totožnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=x$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1$$

Izvod močnosti

Ako imajemo funkciju $y=x^{n}$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(x+h\right)^{n}-x^{n}}{h}}=$$

Vynesimo iz zatvorok množitelj $x^{n}$: $$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{n}\left({\frac {\left(x+h\right)^{n}}{x^{n}}}-1\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{n}\left(\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{n}-1\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{n}\left(\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{n}-1\right)}{h}}=$$

Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na $x$: $$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{n}\left(\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{n}-1\right)}{x\cdot {\frac {h}{x}}}}={\frac {x^{n}}{x}}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{n}}{\frac {h}{x}}}=x^{n-1}\cdot n=nx^{n-1}$$

Izvod proizvoda funkcije na postojannu

Ako imajemo funkciju $y=kf\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {kf\left(x+h\right)-kf\left(x\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {k\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)}{h}}=k\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}=kf'\left(x\right)$$

Izvod sumy funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)+g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}+{\frac {g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}}\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}}=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$$.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.

Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju $y=kx+c$, jej izvod jest
$y'=\left(kx+c\right)'=\left(kx\right)'+c'=kx'=k$,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.

Izvod proizvoda funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+h\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}}=$$

Odojmimo i dobavimo izraz $f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)$ do ujmajemogo čislitelja: $$=\lim _{h\rightarrow }{\frac {f\left(x+h\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)+f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow }{\frac {g\left(x+h\right)\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}g\left(x+h\right){\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}+f\left(x\right)\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}}=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$$.

To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.

Iz togo slěduje, že izvod funkcije $f\left(x\right)^{n}$ jest $n\cdot f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{n-1}$. To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj $n$ ne jest naturalny.

Izvod količnika funkcij

Ako imajemo funkciju $y={\frac {f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=f\left(x\right)\cdot {\frac {1}{g\left(x\right)}}=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest: $$y'=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-2}=f'\left(x\right)\cdot {\frac {1}{g\left(x\right)}}-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right){\frac {1}{g\left(x\right)^{2}}}={\frac {f'\left(x\right)}{g\left(x\right)}}-{\frac {f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^{2}}}={\frac {f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^{2}}}$$

Izvod logaritma

Ako imajemo funkciju $y=\ln x$, to jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\ln \left(x+h\right)-\ln x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\ln {\frac {x+h}{x}}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{h}}=$$

Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na $x$: $$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\cdot {\frac {1}{x}}}{\frac {h}{x}}}={\frac {1}{x}}$$

To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu $a\neq 0\land a\neq 1$. Togda izvod funkciji $y=\log _{a}x={\frac {\ln x}{\ln a}}$ bude ${\frac {1}{x\ln a}}$.

Izvod složenoj funkciji

Ako imajemo funkciju $y=f\left(g\left(x\right)\right)$, togda možno dokazati, že jej izvod jest $y'=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)$.

To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.

Izvod trigonometričnyh funkcij

Izvod sinusa

Ako imajemo funkciju $y=\sin x$, togda jej izvod jest: $$y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin \left(x+h\right)-\sin x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\left(\cos h-1\right)+\sin h\cos x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h\cos x}{h}}=\sin x\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=\cos x$$

Izvod kosinusa

Ako imajemo funkciju $y=\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$, togda jej izvod jest: $$y'=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin x$$

Izvod tangensa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}}$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {\cos x\cdot \cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$$

Izvod kotangensa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}}$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {-\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x$$

Izvod sekansa

Ako imajemo funkciju $y=\sec x={\frac {1}{\cos x}}=\left(\cos x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest: $$y=-\left(\cos x\right)^{-2}\cdot \left(-\sin x\right)=-{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\cdot \left(-\sin x\right)={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x\cdot \sec x$$

Izvod kosekansa

Ako imajemo funkciju $y=\csc x={\frac {1}{\sin x}}=\left(\sin x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest: $$y'=-\left(\sin x\right)^{-2}\cdot \cos x=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x\csc x$$

Izvod obratnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)$, togda obratna funkcija jest $x=f\left(y\right)$, abo $y=f^{-1}\left(x\right)$. Věmo, že
$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$. Kromě togo,
$x'=1$.

Slědovateljno, $$\left(f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\right)'=1$$ $$f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\cdot \left(f^{-1}\left(x\right)\right)'=1$$ $$y'=\left(f^{-1}\left(x\right)\right)'={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}}$$

Izvod pokazateljnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=a^{x}\left(a\neq 0\land a\neq 1\right)$, togda obratna funkcija jest $y=\log _{a}x$, a izvod jest: $$y'={\frac {1}{\frac {1}{a^{x}\ln a}}}=a^{x}\ln a$$.

Osoblivo, izvod funkciji $y=e^{x}$ jest $y'=e^{x}$.

Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij

Izvod arksinusa

Ako imajemo funkciju $y=\arcsin x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{\cos \left(\arcsin x\right)}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left(\sin \left(\arcsin x\right)\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$

Izvod arkkosinusa

Ako imajemo funkciju $y=\arccos x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{-\sin \left(\arccos x\right)}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-\left(\cos \left(\arccos x\right)\right)^{2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$

Izvod arktangensa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {arctg} x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{\sec ^{2}\left(\operatorname {arctg} x\right)}}=\cos ^{2}\left(\operatorname {arctg} x\right)={\frac {1}{\left({\text{tg}}\left(\operatorname {arctg} x\right)\right)^{2}+1}}={\frac {1}{x^{2}+1}}$$

Izvod arkkotangensa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {arcctg} x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{-\csc ^{2}\left(\operatorname {arcctg} x\right)}}=-\sin ^{2}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)=\cos ^{2}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)-1={\frac {1}{\left({\text{tg}}\left({\text{arctg}}{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1}}-1={\frac {1}{\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}+1}}-1={\frac {1}{{\frac {1}{x^{2}}}+1}}-1={\frac {1}{\frac {1+x^{2}}{x^{2}}}}-1={\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}-1={\frac {x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}+1}}=-{\frac {1}{x^{2}+1}}$$

Izvod arksekansa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {arcsec} x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{{\text{tg}}\left(\operatorname {arcsec} x\right)\cdot \sec \left(\operatorname {arcsec} x\right)}}={\frac {1}{{\text{tg}}\left({\text{arccos}}{\frac {1}{x}}\right)\cdot x}}={\frac {{\text{ctg}}\left({\text{arccos}}{\frac {1}{x}}\right)}{x}}={\frac {\cos \left({\text{arccos}}{\frac {1}{x}}\right)}{\sin \left({\text{arccos}}{\frac {1}{x}}\right)\cdot x}}={\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-\left(\cos \left({\text{arccos}}{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}}}}}={\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}}}}}={\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}={\frac {1}{x^{2}\cdot {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$$

Izvod arkkosekansa

Ako imajemo funkciju $y=\operatorname {arccsc} x$, togda jej izvod jest: $$y'={\frac {1}{-{\text{ctg}}\left(\operatorname {arccsc} x\right)\cdot \csc \left(\operatorname {arccsc} x\right)}}=-{\frac {{\text{tg}}\left(\operatorname {arccsc} x\right)}{x}}=-{\frac {{\text{tg}}\left({\text{arcsin}}{\frac {1}{x}}\right)}{x}}=-{\frac {\sin \left({\text{arcsin}}{\frac {1}{x}}\right)}{\cos \left({\text{arcsin}}{\frac {1}{x}}\right)\cdot x}}=-{\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-\left(\sin \left({\text{arcsin}}{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}\cdot {\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}\cdot {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$$

Izvody vysšego reda

Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.

Vtory izvod funkcije $y$ označaje se kako $y''$, tretji kako $y'''$. Izvod reda $n\in \mathbb {N}$ označaje se kako $y^{\left(n\right)}$.

Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako $f''\left(x_{0}\right)>0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_{0}$ jest vypukla, a ako $f''\left(x_{0}\right)<0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_{0}$ jest vgnuta.

Ako $f''\left(x\right)=0$, togda točka $x_{0}$ rěče se točka prigyba.

Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi

Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja $z'_{x}$ i ${\frac {dz}{dx}}$ označaut izvod funkcije $z$ odnosno prěměnnoj $x$, a napisanja $z'_{y}$ i ${\frac {dz}{dy}}$ označajut jej izvod odnosno prěměnnoj $y$.

Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.